프로그래머 기초 수학 1-2 - 집합

Table of Contents

• 집합

집합

개별적인 개체들의 모임을 집합이라고 하며, 집합을 이루는 개체를 원소라고 한다. 집합을 이루는 원소는 { } 중괄호 로 나타내며, 원소나열법과 조건 제시법으로 표시한다. 순서는 상관없지만, 중복은 하지 않는다.

조건제시법은 집합의 원소들에 공통되는 조건법을 기술하는 방법이다.

어떤 원소가 집합에 속하는지는 $\in$ $\notin$ 으로 표시한다. 어떤 집합의 원소의 개수는 $| A |$ 로 나타낸다.

어떤 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속해 있을 경우 부분집합이라고 하고 $A \subset B$ 라고 쓰며, 이 경우에는 A가 B에 포함된다고 한다. 부분집합이 아닐 경우엔 $A \not\subset B$ 으로 표시한다.

원소의 개수가 유한할 경우 유한집합, 무한할 경우 무한집합으로 부른다. 아무런 원소도 없을 경우에는 공집합이라고 하며, 기호로는 $\emptyset$ 으로 표시한다.

만약 $A \subset B$ $B \subset A$ 가 동시에 성립한다면 두 집합의 원소는 완전히 동일한 것으로, 상동이라고 한다.한편 $A \subset B$이지만 $A \neq B$ 인 경우, B에는 A의 원소가 아닌것도 포함되어 있다는 뜻이므로, 진부분집합이라고 한다.

벤다이어 그램을 이용하면 이해하기가 더 쉽다.

집합 A와 B를 한 데 모은 집합르 합집합이라고 하며, $A \cup B$ 이라고 한다. 합집합을 조건제시법으로 하면 아래와 같다.

반대로 공통된 요소만 골라냈다면 교집합이라고 하며 $A \cap B$라고 나타낸다.

만약 교집합이 $\emptyset$ 인 경우, 두집합 간에 공통된 원소가 하나도 없는 경우는 서로소라고 한다.

때로는 어떤 집합을 제외한 나머지 모든 것을 나타내야할 수도 있다. 기본전제가 되는 집합을 $U$ 전체 집합이라고 한다. 그리고 $U$에서 $A$를 제외 한 것을 $A$ 의 여집합이라고 하며, $A^c$ 로 나타낸다.

합집합 $A \cup B$ 의 크기를 구할 때는 주의해야한다.

이것은 아래의 식과 동일하다.

그리고 이러한 집합 연산에도 드모르간의 법칙이 성립한다.

집합 연산에서 교환, 결합, 분배 법칙은 어떨까? 먼저 교환법칙을 살펴보자. 합집합과 교집합은 앞뒤가 바뀌어도 성립하지만, 차집합은 그렇지 못하다.

결합법칙 역시 합집합과, 교집합의 경우애는 성립하지만, 차집합은 성립하지 않는다.

분배 법칙 또한 합집합 교집합에서는 성립한다는 것을 알 수 있다.