## Table of Contents

## meme?

먼저 인터넷에 떠돌고 있는(?) HTML 프로그래밍 언어 관련 짤을 보고 가자.

![meme1](https://i.redd.it/m41loixjno811.jpg)

![meme2](https://i.kym-cdn.com/photos/images/original/001/382/372/e8b.jpg)

![meme3](https://pbs.twimg.com/media/EPgQXItUcAAQE9V.jpg)

## Introduction

> HTML은 프로그래밍 언어가 아닙니다.

라는 말은 프론트엔드 개발을 시작하면서 지겹게도 들어보았다. 정말로 프로그래밍 언어가 아니라는 것을 강조하고 싶었던 것인지, 자바스크립트 개발자로서 HTML은 매우 쉬운 언어이기 때문에 차별성을 두고 싶었던건지, 어쨌는 건지 모르겠지만 흔히들 하는 말은 '로직이 없다' 라든가 [튜링 완전(turing completeness)](https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8A%9C%EB%A7%81_%EC%99%84%EC%A0%84) 이 없다 라든가 등의 논리를 들며 HTML은 프로그래밍 언어가 아니고 마크업 언어라고 주장한다.

> 튜링 완전(turing completeness)이란 어떤 프로그래밍 언어나 추상 기계가 튜링 기계와 동일한 계산 능력을 가진다는 의미이다. 이것은 튜링 기계로 풀 수 있는 문제, 즉 계산적인 문제를 그 프로그래밍 언어나 추상 기계로 풀 수 있다는 의미이다.

그렇다면 정말 프로그래밍 언어로서 HTML은 부족한 점이 있는 것일까? HTML은 정말 프로그래밍 언어가 아닌 것일까? 흔히들 HTML이 프로그래밍 언어로서 무언가 결함이 있거나 부정확하다고 주장할 때 언급되는 논리에 대해서 하나씩 살펴보자.

## HTML이 프로그래밍 언어가 아니라고 하는 주장들

대표적인 주장들을 살펴보자.

### HTML은 마크업 언어지, 프로그래밍 언어가 아니예요.

이 문장 자체는 맞는 것 같아 보이지만 틀렸다고 생각한다. 마크업 언어도 프로그래밍 언어가 될 수 있다. 모든 마크업 언어가 프로그래밍 언어인것은 아니지만, 그럴 수도 있다. 두 개의 벤다이어그램을 그린다면, 약간은 교차하는 모습이 나올 것이다.

변수, 제어, 루프 등을 가지고 있는 마크업 언어 또한 프로그래밍 언어가 될 수 있다. 이는 상호 배타적인 개념이 아니다. 마찬가지로 수학 수식을 그릴 때 사용하는 `Tex` 와 `LaTex` 도 프로그래밍 언어로 볼 수 있는 마크업 언어다. 이 두언어를 가지고 개발을 하는 것은 일반적인 상황은 아니지만, 온라인에서 이러한 예시를 찾아볼 수는 있다.

- https://www.ctan.org/tex-archive/macros/generic/basix
- https://sdh33b.blogspot.com/2008/07/icfp-contest-2008.html

따라서 마크업 언어라고 해서 프로그래밍 언어가 아니라고 하는 것은 잘못되었다. 요점은 두개의 개념이 별개가 아니라는 것이다. 마크업 언어는 프로그래밍 언어일 수 있다. 따라서 HTML이 마크업 언어이기 때문에 프로그래밍 언어가 아니라고 말하는 것은 애초에 전재 조건이 잘못되었다고 볼 수 있다.

### HTML은 로직을 가질 수 없어서 프로그래밍 언어가 아니예요.

로직이란 무엇일까? 튜링 완전과 마찬가지로, 이 주장을 다루기 전에 로직이란 무엇인지 확실히 정의내릴 필요가 있다.

보통 프로그래밍 언어에서의 로직은, 변수나 조건, 루프 등이 있어 사용할 수 있는 것을 의미한다. HTML은 그런데 이러한 것을 사용할 수 없기 때문에 프로그래밍 언어가 아니라고 생각할 수 있다. 하지만 HTML 속성 중에는 변수가 있으며, 변수와 함께 사용할 수 있는 제어구조가 있다. 내부 논리를 제어하는데 자바스크립트나 CSS 가 필요없는 HTML element 가 있다. 여기서 말하는 것은 과거 표준이었던 `<link>` `<noscript>`가 아니다. 사용자의 입력에 따라서 element의 현재 상태와 변수에 값에 따라 조건부 작업을 수행하는 element를 말하는 것이다.

아래 예시를 살펴보자.

```html
<dialog id="dialog1" open>
  <h2>This is an HTML <code>&lt;dialog&gt;</code></h2>
  <p>Dialog</p>
  <p>CSS나 자바스크립트 없이도 닫을 수 있습니다?!</p>
  <form method="dialog" action="#dialog1">
    <button>닫기</button>
  </form>
</dialog>

<details>
  <summary>화살표를 눌러보세요</summary>
  <div>
    <p>띠요옹</p>
    <p>CSS나 자바스크립트 없이도 여닫기를 할 수 있다?!</p>
  </div>
</details>
```

https://6710t.csb.app/

- https://developer.mozilla.org/ko/docs/Web/HTML/Element/dialog
- https://developer.mozilla.org/ko/docs/Web/HTML/Element/summary

따라서 HTML에는 로직이 없어서 프로그래밍 언어가 아니라고 말하는 것도 오해의 소지가 있다. HTML이 사용자의 입력 (클릭)에 따른 결정을 내릴 수 있다. 물론 HTML이 로직을 가지고는 있지만, 데이터를 조작하도록 설계된 다른 언어의 로직과는 본질적으로 다르긴하다. 어쨌거나, HTML이 프로그래밍 언어가 아니라고 말하기 위해서는 더 논리적인 주장이 필요하다.

### 튜링 완전함이 없어서 프로그래밍 언어가 아닙니다.

튜링 완전성이 무엇인지에 대한 논의는 여기저기서 많이 다뤄지고 있기 때문에 굳이 언급하지는 않겠다.

> In the simplest terms, for a language or machine to be Turing complete, it means that it is capable of doing what a Turing machine could do: perform any calculation, a.k.a. universal computation. After all, programming was invented to do math although we do a lot more with it now, of course!

> 언어나 머신이 튜링 완전성을 가지기 위해서는, 튜링 기계가 할 수 있는 것을 똑같이 할 수 있어야 한다. 모든 연산, 즉 보편적인 연산을 수행할 수 있어야 한다. 프로그래밍은 비록 우리가 수학으로 할 수 있는 것 보다 더 많은 것을 하고 있지만, 본질적으로는 수학을 하기 위해서 발명되었다.

> https://notlaura.com/is-css-turing-complete/

대부분의 현대 프로그래밍 언어들이 튜링 완전하기 때문에 사람들은 이를 프로그래밍 언어의 정의로 사용한다. 하지만 사실 튜링 완전성의 정의는 그것이 아니다. 앞서 위키피디아에서 본것 처럼, 튜링 기계를 시뮬레이션 할 수 있는지 여부를 나타내는 것이다. 튜링 완전성은 프로그래밍 언어를 분류하는데 사용할 수 있지만, 튜링 완전성을 가지고 프로그래밍 언어의 정의를 내리는데 사용하기엔 조금 무리가 있다. 예를 들어 마인크래프트나 매직더 게더링도 튜링 완전성을 가지고 있지만, 이를 프로그래밍 언어라고 생각하는 사람은 없다.

튜링 완전성은 아주 과거 일부 사람들이 컴파일 언어와 인터프리터 언어의 차이를 '좋은 언어'의 차이로 나눴던 것과 마찬가지 방식으로 사용되고 있는 것 같다. 백엔드 개발자가, 프론트엔드 개발자를 '가짜 프로그래밍을 하는 사람'으로 평가 절하했던 것과 마찬가지로.

프로그래밍의 정의는 시간에 따라 달라진다. 천공 카드에 어셈블리 코딩을 입력하는 것이 진짜 프로그래밍이라고 주장하는 사람들도 있을 것이다. 보편적이거나, 모세의 그것 처럼 돌로 쓰여진 것은 아무것도 없다.

튜링 완전성은 공정한 기준이라고 볼수도 있지만, 편향되고 주관적인 기준이라고 보는 것이 맞다. 튜링 완전 기계를 생성할 수 있는 언어는 프로그래밍 언어로 판단되는 반면, [유한 상태 기계](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%95%9C_%EC%83%81%ED%83%9C_%EA%B8%B0%EA%B3%84)를 생성하는 언어는 그렇지 않는 것으로 보는 이유는 무엇인가? 이는 완전히 주관적이라고 생각한다.

마찬가지로, HTML은 튜링 완전하지 않다라고 하는 사람들도 정작 튜링 완전성이 무엇인지 모르거나 이해하지 못하는 것 또한 사실이다. 튜링 완전성은 품질 보증서가 아니다. 프로그래밍 언어를 정의하는 것이 아니라 분류하는 방법이다. 프로그래밍언어는 컴파일/인터프리터일수도, 명령형/선언형 일수도, 절차적이거나/객체지향적 일수도있다. 그리고 마찬가지로 튜링완전할 수도 그렇지 않을 수도 있다.

## 그래서 HTML이 프로그래밍 언어라구요? 아뇨, 더 중요한 것은..

그래서, 프로그래밍 언어가 아니라고 하는 주장을 반박하면 HTML이 프로그래밍 언어가 되는건가? 그런 건 아니다. HTML 표준이 상상 이상으로 발전하거나, 프로그래밍 언어의 정의가 바뀌지 않는 이상 이 논쟁은 아마두 계속 될 것이다.

그러나 중요한 것은 개발자로서 이러한 질문을 받아드릴 경우 심각한 논쟁을 야기하는 것이 아니라, 이러한 논쟁으로부터 개발 생태계를 분리시키는 것이다. 이러한 논쟁은 의도를 숨긴채 쓸데없는 논란을 불러 오기 때문에 매우 경계해야 한다.

> They say you’re not a real programming language like the others, that you’re just markup, and technically speaking, I suppose that’s right. Technically speaking, JavaScript and PHP are scripting languages. I remember when it wasn’t cool to know JavaScript, when it wasn’t a “real” language too. Sometimes, I feel like these distinctions are meaningless, like we built a vocabulary to hold you (and by extension, ourselves as developers) back. You, as a markup language, have your own unique value and strengths.

> 사람들은 여러분이 다른 언어처럼 진짜 프로그래밍 언어라고 말합니다. 이는 단지 마크업이고, 엄밀히 말하면 저는 이것이 옳다고 생각합니다. 더 기술적으로 이야기 하자면, 자바스크립트와 PHP는 스크립트 언어 입니다. 자바스크립트를 아는 것이 자랑이 아니었을 때, 자바스크립트가 진짜 언어 취급을 받지 않았을 때를 기억합니다. 때때로 이런 구별과 논의가 무의미하다고 생각합니다. 마치 이러한 논쟁이 마크업 개발자를 자바스크립트 개발자 뒤로 붙들기 위한 어휘 처럼 느껴집니다. 마크업 언어로서, 여러분 (마크업 개발자 분들)들은 자신만의 고유한 가치와 장점을 가지고 있습니다.

https://css-tricks.com/a-love-letter-to-html-css/

## 결론

HTML 은 프로그래밍 언어인가 아닌가는 별로 중요한 논의도 아니고, 누군가 결정을 내려줘야할 문제도 아니다. 과거 프론트엔드 개발자들이 백엔드 개발자들에게, 나아가 개발자 커뮤니티에서 알게 모르게 무시 당했던 것과 비슷한 느낌이다. HTML과 프로그래밍 언어 이 논쟁은 의미도 없고 아무런 가치도 가지고 있지 않다. 개발을 하는데 개발자가 컴퓨터 공학과 인지, 동양인지 전혀 상관없는 것 처럼 개발자는 개발자 일 뿐이고, HTML은 HTML 일 뿐이다. 웹 생태계, 나아가 현재의 소프트웨어 생태계를 보았을 때 HTML이 차지하는 비중이 결코 작지 않다. HTML은 다른 것들과 마찬가지로 방대한 문서와 광범위한 문법을 가지고 있고, 간단하게 배울 수 있는 것도 아니며, 그 복잡성으로 인해 숙달하는데 있어 몇년이 걸린다. 프로그래밍 언어든 아니든 중요한 것은 HTML이 있다는 것, 그리고 좋은 품질의 웹 애플리케이션을 만들기 위해 반드시 사용해야 한다는 것, 그 것 뿐이다.

## 살펴보기

- https://notlaura.com/is-css-turing-complete/
- https://css-tricks.com/a-love-letter-to-html-css/
- https://css-tricks.com/html-is-not-a-programming-language/


HTML은 프로그래밍 언어인가? 라는 논쟁보다 중요한 것

## 유리수

유리수란, 나눗셈 또는 분수, 즉 '비율로 나타낼 수 있는 모든 수' 를 유리수라고 한다. 정수는 모두 자기자신과 1의 비율로 나타낼 수 있으므로 유리수다.

분수에서, 분모와 분자가 1외에 다른 공통된 약수를 가진다면, 그 약수로 동시에 나누어도 값은 변하지 않는데, 이를 `약분`이라고 하며, 더 이상 나눌 수 없어 분모와 분자가 서로 소인 분수를 `기약분수` 라고한다.

$$
\frac{20}{72} = \frac{2^2 \times 5}{2^3 \times 3^2} = \frac{5}{2 \times 3^2} = \frac {5}{18}
$$

분수로 나타낸 두 유리수를 계산할 때, 분모가 다르다면 이를 같게 만들어야 한다. 이를 `통분` 이라고 하며, 통분된 새로운 분모를 `공통분모` 라고한다.

$$
\frac{5}{12}- \frac{3}{8} = (\frac{5 \times 2}{12 \times 2}) - (\frac{3\times3}{8 \times 3}) = \frac {10}{24} - \frac{9}{24} = \frac {1}{24}
$$

어떤 수와 다른 수를 비교했을때, 얼마나 큰가 하는 것을 두수의 `비`라고 하며, $a : b$ 로 나타낸다. 두 비의 값이 같아서 등호로 연결한 것을 `비례식`이라고 한다. 그리고 등호 가까이에 있는 것은 `내항`, 바깥에 있는 것은 `외항`이라고 한다.

$$
a : b = c: d
$$

비례식은 분수꼴로 써서 풀수 있고, 이 때 양변에 분모의 공배수를 곱한다. 그 결과로 내항의 곱과 외항의 곱이 같아진다.

$$
\frac a b = \frac c d
\frac a b \times ( b \times d) = \frac c d \times (b \times d)
a \times d = b \times c
$$

비율을 $\frac {1}{100}$ 단위로 표현한 것은 백분율이라고 한다. $\frac 1 4$는 $\frac{25}{100}$ 이며 곧 25%라고 표시할 수 있다. 흔치는 않지만, 농도 등을 나타낼 때는 $\frac{1}{1000}$을 쓸 수 있는데, 이는 퍼밀(‰) 이라고 한다.

유리수는 분수 외에 소수점을 써서 소수로 나타낼 수 있다. 이 때 분모가 10의 거듭제곱일 때는, 소수가 유한하게 끝나게 되는데 이를 `유한소수` 라고한다.

10 진수의 밑인 10의 소인수는 2와 5다. 기약분수인 어떤 유리수의 분모를 소인수 분해했더니, 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어졌다고 다고정하자. 분자는 무엇이든지 간에, 모든 유리수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$
\frac {N}{2^m \times 5^n}
$$

이제 $m$ 과 $n$ 중, 더 작은쪽에 해당하는 소인수를, 큰쪽의 거듭제곱과 같을 때까지 분모와 분자에 곱해보자.

$$
\frac{9}{40} = \frac{9}{2^3 \times 5} \times (\frac {5^2}{5^2}) = \frac{9 \times 5^2}{2^3 \times 5^3} = \frac{9 \times 5^2}{10^3} = \frac{225}{1000} = 0.225
$$

결과가 10의 거듭제곱 꼴이 되므로, 이유리수를 소수로 나타내면 유한소수가 된다.

만약 2나 5외에 다른 소인수가 분모에 있으면, 소수점 밑 어딘가부터 같은 숫자 패턴이 반복하게 된다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8333333....
\frac{1}{7} = 0.142857142857....
$$

이런 소수를 `순환소수` 라고 한다. 소수점 아래에 반복되는 부분을 `순환마디`라고 하며, 점을 찍어서 표현한다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8\dot{3}
\frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}
$$

순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 생각해보자.

$$
x = 0.33333....
10x = 3.3333....
$$

두 식을 빼면

$$
9x = 3
\therefore  x = \frac 3 9 = \frac 1 3
$$

$1.8\dot{3}$ 처럼, 순환마디가 바로 뒤에 오지 않으면, 순환마디가 동일하도록 만든다음에 뺄셈을 하면 된다.

$$
x = 1.833333...
$$

$$
10x = 18.333333...
$$

$$
100x = 183.333333...
$$

$$
90x = (183-18) = 165
\therefore x = \frac {165}{90} = \frac{11}{6}
$$

## 무리수

유리수 처럼 분수로도 나눌 수 없는 숫자가 있다.

$$
x^2 = 2
x = \sqrt{2}
x = -\sqrt{2}
x = ± \sqrt{2}
$$

$± \sqrt{2}$는 2의 제곱근 이라고 한다.

이 처럼 분수로 나타낼 수 없는 숫자는 무리수라고 한다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 나타내는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$는 1.4142135...이다. 결과적으로, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.

![](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/2457934C57165F6C33)

그리고 $\sqrt{-1}$처럼, 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않으므로, 실수 체계에 속하지 않는다. 무리수도 숫자 이므로, 덧셈 뺄셈은 일반적인 경우와 같다.

$$
a\sqrt{n} ± b\sqrt{n} = (a ± b)\sqrt{n}
\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
$$

근에 안에 있는 수가 제곱수일 경우, 이를 벗겨 내 버릴 수도 있다.

$$
\sqrt{24} = \sqrt{2^3 \times 3} = \sqrt{2^2 \times (2 \times 3)} = \sqrt{4} \times \sqrt{2 \times 3} = 2\sqrt{6}
$$

분모에 제곱근 기호가 있다면, 통분 같은 계산을 위해 정수화 하는 것이 좋다. 이를 `분모 유리화` 라고 한다.

$$
(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = (\frac{\sqrt{2}}{2})
$$


프로그래머 기초 수학 2-3 - 유리수, 무리수, 실수

## 기수법

우리가 흔히 사용하는 숫자 1234는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$
1234 = (1 \times 10^3) + (2 \times 10^2) + (3 \times 10^1) + (3 \times 10^0)
$$

여기 나오는 `10`처럼 그 거듭 제곱으로 자리의 값을 취하는 숫자를 `밑` 이라고 하고, 체계의 이름은 `진법`이라는 말을 붙인다. 즉 저 숫자는 10진법으로 나타낸 수다. 어떤 진법을 썼는지 나타내기 위해서는 밑에 작게 표현한다

$$
1234_{(10)} 1234_{10}
$$

이와 비슷하게, 0과 1로만 표현되어 있는 숫자는 2진법이라고 한다. 2진법은 논리적으로 참과 거짓에 대응 되며, 이는 전기 신호로 1, 0을 표현하는 컴퓨터의 기본체계를 이룬다.

$$
1101_{2} = (1 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0)
= ( 8 + 4 + 0 + 1)
13_{10}
$$

이와 비슷하게, 16비트로 나타낼수 있는 수는 $2^{16} - 1 = 65536$이다.

2진법과 더불어 컴퓨터 과학분야에서 많이 쓰이는 것이 16진법이다. 16진법은 0~9와 더불어 `A, B, C, D, E, F` 를 사용하여 숫자를 표현한다. 각각 `10, 11, 12, 13, 14, 15`를 나타낸다.

$$
CAFE_{16} = (12 \times 16^3) + (10 \times 16^2) + (15 \times 16^1) + (14 \times 16^0) = 51966_{10}
$$

근데 왜 하필 16진수가 널리 쓰이게 된것일까? 그것은 2진수를 인간이 좀더 보기 쉬운 형태 ($2^4$)로 바꾼 것이 기 때문이다. 이는 정확하게 4비트를 나타낸다.

| 2진수  | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| ------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 16진수 | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6    | 7    |
| 2진수  | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16진수 | 8    | 9    | A    | B    | C    | D    | E    | F    |

0과 1을 나열한 것은 바로 알아보기 쉽지 않지만, 이를 네개씩 묶어서 표현할 수 있다.

$$
1011\space1110\space1110\space1111_{2}
BEEF_{16}
$$

거꾸로 10진수를 다른 진법으로 나타내기 위해서는, 해당 10진법 숫자를 변환을 원하는 밑으로 나누어서 표현하면 된다.

## 코드 구현

```javascript
var dec = 123
var hex = dec.toString(16) // 변환을 원하는 밑을 넣는다.
var bin = dec.toString(2)

var hex = '7b'
var dec = parseInt(hex, 16) // 해당숫자의 밑을 넣는다.
var bin = dec.toString(2)
```


프로그래머 기초 수학 2-2 - 기수법

## Table of Contents

## 개념

- 정수: 1, 2, 3과 같은 자연수, 없음을 나타내는 0, 그리고 자연수와 반대 부호인 수 (-1, -2, -3...)
- 배수: 어떤 정수에 다른 정수를 곱하여 만들어진 정수 (15는 3과 5의 배수)
- 약수: 어떤 정수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수
- 소수: 자기 자신과 1외에는 다른 약수가 없는 수
- 합성수: 1과 자기 자신외의 약수가 있어서 그 약수의 곱으로 나타낼 수 있는 수
  - 1보다 큰 모든 정수는 소수이거나, 합성수 이다.
- 소인수분해: 소수인 약수들의 곱셉 형태로 합성수를 나타내는 것

$$
72 = 8 \times 9  = (2 \times 2 \times 2) \times  (3 \times 3) = 2^3 \times 3^2
$$

소인수 분해는 고성능 컴퓨터로도 오래걸리며, 현대 암호학은 소수의 성질에 의존하고 있다. 소수를 골라 낼 때는 에라토스테네스의 체를 사용한다.

- 에라토스테네스의 체

2부터 소수를 구하고자 하는 구간의 모든 수를 나열한다. 그림에서 회색 사각형으로 두른 수들이 여기에 해당한다.
2는 소수이므로 오른쪽에 2를 쓴다. (빨간색)
자기 자신을 제외한 2의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 3은 소수이므로 오른쪽에 3을 쓴다. (초록색)
자기 자신을 제외한 3의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 5는 소수이므로 오른쪽에 5를 쓴다. (파란색)
자기 자신을 제외한 5의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 7은 소수이므로 오른쪽에 7을 쓴다. (노란색)
자기 자신을 제외한 7의 배수를 모두 지운다.
위의 과정을 반복하면 구하는 구간의 모든 소수가 남는다.

```javascript
function solution(n) {
  const arr = new Array(n).fill(true)

  for (let i = 2; i * i <= n; i += 1) {
    if (arr[i]) {
      for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
        arr[j] = false
      }
    }
  }

  arr.splice(0, 2, false, false)

  return arr
    .map((value, index) => (value ? index : false))
    .filter((value) => Boolean(value))
}
```

어떤수 $N$ 이 $a^m \times a^b$ 로 소인수 분해 할 수 있다면, $N$ 의 약수는 총 $(m+1) \times (n+1)$개 다.

- 공약수: 두 수의 약수 중에 공통되는 것
- 최대 공약수: 공약 수 중 가장 큰 수
- 서로소: 1외에 공약수가 없는수
- 공배수: 두 수의 배수 중에서 공통 된 것
- 최소공배수: 공배수 중 가장 작은 것

두 수 A와 B, 그리고 이들의 최대공약수를 G라고 하고, 최대공약수에 속하지 않는 약수들의 곱을 a, b라고 하자. a, b는 최대 공약수의 정의에 따라 서로소 일 것이다..

$$
A = G \times a
B = G \times b
$$

A, B의 배수들을 구하면 다음과 같은 모양이 될 것이다.

$$
A : (G \times a) \times (1, 2, 3 ... )
B : (G \times b) \times (1, 2, 3 ... )
$$

여기서 최소공배수를 구해보자.

$$
A: (G \times a) \times b
B: (G \times b) \times a
$$

따라서 최소 공배수 L은

$$
L = G \times a \times b
$$

로 표현될 수 있다.


프로그래머 기초 수학 2-1 - 정수

## Table of Contents

## 집합

개별적인 개체들의 모임을 집합이라고 하며, 집합을 이루는 개체를 원소라고 한다. 집합을 이루는 원소는 `{ }` 중괄호 로 나타내며, 원소나열법과 조건 제시법으로 표시한다. 순서는 상관없지만, 중복은 하지 않는다.

$$
A = \{ 1, 5, 7, 3, 9 \}
$$

$$
B = \{ 2, 4, 6, \ldots, 100 \}
$$

조건제시법은 집합의 원소들에 공통되는 조건법을 기술하는 방법이다.

$$
C = \{ x | 1 \leq x \leq 100 \}
$$

어떤 원소가 집합에 속하는지는 $\in$ $\notin$ 으로 표시한다. 어떤 집합의 원소의 개수는 $| A |$ 로 나타낸다.

어떤 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속해 있을 경우 부분집합이라고 하고 $A \subset B$ 라고 쓰며, 이 경우에는 A가 B에 포함된다고 한다. 부분집합이 아닐 경우엔 $A \not\subset B$ 으로 표시한다.

원소의 개수가 유한할 경우 유한집합, 무한할 경우 무한집합으로 부른다. 아무런 원소도 없을 경우에는 공집합이라고 하며, 기호로는 $\emptyset$ 으로 표시한다.

만약 $A \subset B$ $B \subset A$ 가 동시에 성립한다면 두 집합의 원소는 완전히 동일한 것으로, `상동`이라고 한다.한편 $A \subset B$이지만 $A \neq B$ 인 경우, B에는 A의 원소가 아닌것도 포함되어 있다는 뜻이므로, 진부분집합이라고 한다.

벤다이어 그램을 이용하면 이해하기가 더 쉽다.

![venn](./images/venn1.png)

집합 A와 B를 한 데 모은 집합르 합집합이라고 하며, $A \cup B$ 이라고 한다. 합집합을 조건제시법으로 하면 아래와 같다.

$$
A \cup B = \{ x | (x \in A) \lor (x \in B) \}
$$

반대로 공통된 요소만 골라냈다면 교집합이라고 하며 $A \cap B$라고 나타낸다.

$$
A \cap B = \{ x | (x \in A) \land (x \in B) \}
$$

만약 교집합이 $\emptyset$ 인 경우, 두집합 간에 공통된 원소가 하나도 없는 경우는 서로소라고 한다.

때로는 어떤 집합을 제외한 나머지 모든 것을 나타내야할 수도 있다. 기본전제가 되는 집합을 $U$ 전체 집합이라고 한다. 그리고 $U$에서 $A$를 제외 한 것을 $A$ 의 여집합이라고 하며, $A^c$ 로 나타낸다.

$$
A^c = \{ x | (x \notin A) \land (x \notin U) \}
$$

합집합 $A \cup B$ 의 크기를 구할 때는 주의해야한다.

$$
|A \cup B| = |A| + |B| - | A \cap B |
$$

이것은 아래의 식과 동일하다.

$$
A - B = \{ x | (x \in A) \cap (x \notin B) \} = A \cap B^c
$$

그리고 이러한 집합 연산에도 드모르간의 법칙이 성립한다.

$$
( A \cup B )^c = \{ x | \lnot(x \in A \lor x \in B) \} = \{ x | (x \notin A) \land (x \notin B) \} = A^c \cap B^c
( A \cap B )^c = \{ x | \land (x \in A \land x \in B) \} = \{ x | (x \notin A) \lor (x \notin B) \} = A^c \cup B^c
$$

집합 연산에서 교환, 결합, 분배 법칙은 어떨까? 먼저 교환법칙을 살펴보자. 합집합과 교집합은 앞뒤가 바뀌어도 성립하지만, 차집합은 그렇지 못하다.

$$
B \cup A = \{ x | x \in B ) \lor (x \in A) \} = A \cup B
B \cap A = \{ x | x \in B ) \land (x \in A) \} = A \cap B
B-A = B \cap A^c \not = A \cap B^c = A-B
$$

결합법칙 역시 합집합과, 교집합의 경우애는 성립하지만, 차집합은 성립하지 않는다.

$$
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
(A - B) - C = (A \cap B^c) - C = A \cap B^c \cap C^c
A - (B - C) = A - (B \cap C^c) = A \cap (B \cap C^c)^c = A \cap (B^c \cup C)
$$

분배 법칙 또한 합집합 교집합에서는 성립한다는 것을 알 수 있다.

$$
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
$$


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