## 유리수

유리수란, 나눗셈 또는 분수, 즉 '비율로 나타낼 수 있는 모든 수' 를 유리수라고 한다. 정수는 모두 자기자신과 1의 비율로 나타낼 수 있으므로 유리수다.

분수에서, 분모와 분자가 1외에 다른 공통된 약수를 가진다면, 그 약수로 동시에 나누어도 값은 변하지 않는데, 이를 `약분`이라고 하며, 더 이상 나눌 수 없어 분모와 분자가 서로 소인 분수를 `기약분수` 라고한다.

$$
\frac{20}{72} = \frac{2^2 \times 5}{2^3 \times 3^2} = \frac{5}{2 \times 3^2} = \frac {5}{18}
$$

분수로 나타낸 두 유리수를 계산할 때, 분모가 다르다면 이를 같게 만들어야 한다. 이를 `통분` 이라고 하며, 통분된 새로운 분모를 `공통분모` 라고한다.

$$
\frac{5}{12}- \frac{3}{8} = (\frac{5 \times 2}{12 \times 2}) - (\frac{3\times3}{8 \times 3}) = \frac {10}{24} - \frac{9}{24} = \frac {1}{24}
$$

어떤 수와 다른 수를 비교했을때, 얼마나 큰가 하는 것을 두수의 `비`라고 하며, $a : b$ 로 나타낸다. 두 비의 값이 같아서 등호로 연결한 것을 `비례식`이라고 한다. 그리고 등호 가까이에 있는 것은 `내항`, 바깥에 있는 것은 `외항`이라고 한다.

$$
a : b = c: d
$$

비례식은 분수꼴로 써서 풀수 있고, 이 때 양변에 분모의 공배수를 곱한다. 그 결과로 내항의 곱과 외항의 곱이 같아진다.

$$
\frac a b = \frac c d
\frac a b \times ( b \times d) = \frac c d \times (b \times d)
a \times d = b \times c
$$

비율을 $\frac {1}{100}$ 단위로 표현한 것은 백분율이라고 한다. $\frac 1 4$는 $\frac{25}{100}$ 이며 곧 25%라고 표시할 수 있다. 흔치는 않지만, 농도 등을 나타낼 때는 $\frac{1}{1000}$을 쓸 수 있는데, 이는 퍼밀(‰) 이라고 한다.

유리수는 분수 외에 소수점을 써서 소수로 나타낼 수 있다. 이 때 분모가 10의 거듭제곱일 때는, 소수가 유한하게 끝나게 되는데 이를 `유한소수` 라고한다.

10 진수의 밑인 10의 소인수는 2와 5다. 기약분수인 어떤 유리수의 분모를 소인수 분해했더니, 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어졌다고 다고정하자. 분자는 무엇이든지 간에, 모든 유리수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$
\frac {N}{2^m \times 5^n}
$$

이제 $m$ 과 $n$ 중, 더 작은쪽에 해당하는 소인수를, 큰쪽의 거듭제곱과 같을 때까지 분모와 분자에 곱해보자.

$$
\frac{9}{40} = \frac{9}{2^3 \times 5} \times (\frac {5^2}{5^2}) = \frac{9 \times 5^2}{2^3 \times 5^3} = \frac{9 \times 5^2}{10^3} = \frac{225}{1000} = 0.225
$$

결과가 10의 거듭제곱 꼴이 되므로, 이유리수를 소수로 나타내면 유한소수가 된다.

만약 2나 5외에 다른 소인수가 분모에 있으면, 소수점 밑 어딘가부터 같은 숫자 패턴이 반복하게 된다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8333333....
\frac{1}{7} = 0.142857142857....
$$

이런 소수를 `순환소수` 라고 한다. 소수점 아래에 반복되는 부분을 `순환마디`라고 하며, 점을 찍어서 표현한다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8\dot{3}
\frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}
$$

순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 생각해보자.

$$
x = 0.33333....
10x = 3.3333....
$$

두 식을 빼면

$$
9x = 3
\therefore  x = \frac 3 9 = \frac 1 3
$$

$1.8\dot{3}$ 처럼, 순환마디가 바로 뒤에 오지 않으면, 순환마디가 동일하도록 만든다음에 뺄셈을 하면 된다.

$$
x = 1.833333...
$$

$$
10x = 18.333333...
$$

$$
100x = 183.333333...
$$

$$
90x = (183-18) = 165
\therefore x = \frac {165}{90} = \frac{11}{6}
$$

## 무리수

유리수 처럼 분수로도 나눌 수 없는 숫자가 있다.

$$
x^2 = 2
x = \sqrt{2}
x = -\sqrt{2}
x = ± \sqrt{2}
$$

$± \sqrt{2}$는 2의 제곱근 이라고 한다.

이 처럼 분수로 나타낼 수 없는 숫자는 무리수라고 한다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 나타내는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$는 1.4142135...이다. 결과적으로, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.

![](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/2457934C57165F6C33)

그리고 $\sqrt{-1}$처럼, 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않으므로, 실수 체계에 속하지 않는다. 무리수도 숫자 이므로, 덧셈 뺄셈은 일반적인 경우와 같다.

$$
a\sqrt{n} ± b\sqrt{n} = (a ± b)\sqrt{n}
\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
$$

근에 안에 있는 수가 제곱수일 경우, 이를 벗겨 내 버릴 수도 있다.

$$
\sqrt{24} = \sqrt{2^3 \times 3} = \sqrt{2^2 \times (2 \times 3)} = \sqrt{4} \times \sqrt{2 \times 3} = 2\sqrt{6}
$$

분모에 제곱근 기호가 있다면, 통분 같은 계산을 위해 정수화 하는 것이 좋다. 이를 `분모 유리화` 라고 한다.

$$
(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = (\frac{\sqrt{2}}{2})
$$


프로그래머 기초 수학 2-3 - 유리수, 무리수, 실수

## 기수법

우리가 흔히 사용하는 숫자 1234는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$
1234 = (1 \times 10^3) + (2 \times 10^2) + (3 \times 10^1) + (3 \times 10^0)
$$

여기 나오는 `10`처럼 그 거듭 제곱으로 자리의 값을 취하는 숫자를 `밑` 이라고 하고, 체계의 이름은 `진법`이라는 말을 붙인다. 즉 저 숫자는 10진법으로 나타낸 수다. 어떤 진법을 썼는지 나타내기 위해서는 밑에 작게 표현한다

$$
1234_{(10)} 1234_{10}
$$

이와 비슷하게, 0과 1로만 표현되어 있는 숫자는 2진법이라고 한다. 2진법은 논리적으로 참과 거짓에 대응 되며, 이는 전기 신호로 1, 0을 표현하는 컴퓨터의 기본체계를 이룬다.

$$
1101_{2} = (1 \times 2^3) + (1 \times 2^2) + (1 \times 2^1) + (1 \times 2^0)
= ( 8 + 4 + 0 + 1)
13_{10}
$$

이와 비슷하게, 16비트로 나타낼수 있는 수는 $2^{16} - 1 = 65536$이다.

2진법과 더불어 컴퓨터 과학분야에서 많이 쓰이는 것이 16진법이다. 16진법은 0~9와 더불어 `A, B, C, D, E, F` 를 사용하여 숫자를 표현한다. 각각 `10, 11, 12, 13, 14, 15`를 나타낸다.

$$
CAFE_{16} = (12 \times 16^3) + (10 \times 16^2) + (15 \times 16^1) + (14 \times 16^0) = 51966_{10}
$$

근데 왜 하필 16진수가 널리 쓰이게 된것일까? 그것은 2진수를 인간이 좀더 보기 쉬운 형태 ($2^4$)로 바꾼 것이 기 때문이다. 이는 정확하게 4비트를 나타낸다.

| 2진수  | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| ------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 16진수 | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6    | 7    |
| 2진수  | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16진수 | 8    | 9    | A    | B    | C    | D    | E    | F    |

0과 1을 나열한 것은 바로 알아보기 쉽지 않지만, 이를 네개씩 묶어서 표현할 수 있다.

$$
1011\space1110\space1110\space1111_{2}
BEEF_{16}
$$

거꾸로 10진수를 다른 진법으로 나타내기 위해서는, 해당 10진법 숫자를 변환을 원하는 밑으로 나누어서 표현하면 된다.

## 코드 구현

```javascript
var dec = 123
var hex = dec.toString(16) // 변환을 원하는 밑을 넣는다.
var bin = dec.toString(2)

var hex = '7b'
var dec = parseInt(hex, 16) // 해당숫자의 밑을 넣는다.
var bin = dec.toString(2)
```


프로그래머 기초 수학 2-2 - 기수법

## Table of Contents

## 개념

- 정수: 1, 2, 3과 같은 자연수, 없음을 나타내는 0, 그리고 자연수와 반대 부호인 수 (-1, -2, -3...)
- 배수: 어떤 정수에 다른 정수를 곱하여 만들어진 정수 (15는 3과 5의 배수)
- 약수: 어떤 정수를 나머지 없이 나눌 수 있는 수
- 소수: 자기 자신과 1외에는 다른 약수가 없는 수
- 합성수: 1과 자기 자신외의 약수가 있어서 그 약수의 곱으로 나타낼 수 있는 수
  - 1보다 큰 모든 정수는 소수이거나, 합성수 이다.
- 소인수분해: 소수인 약수들의 곱셉 형태로 합성수를 나타내는 것

$$
72 = 8 \times 9  = (2 \times 2 \times 2) \times  (3 \times 3) = 2^3 \times 3^2
$$

소인수 분해는 고성능 컴퓨터로도 오래걸리며, 현대 암호학은 소수의 성질에 의존하고 있다. 소수를 골라 낼 때는 에라토스테네스의 체를 사용한다.

- 에라토스테네스의 체

2부터 소수를 구하고자 하는 구간의 모든 수를 나열한다. 그림에서 회색 사각형으로 두른 수들이 여기에 해당한다.
2는 소수이므로 오른쪽에 2를 쓴다. (빨간색)
자기 자신을 제외한 2의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 3은 소수이므로 오른쪽에 3을 쓴다. (초록색)
자기 자신을 제외한 3의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 5는 소수이므로 오른쪽에 5를 쓴다. (파란색)
자기 자신을 제외한 5의 배수를 모두 지운다.
남아있는 수 가운데 7은 소수이므로 오른쪽에 7을 쓴다. (노란색)
자기 자신을 제외한 7의 배수를 모두 지운다.
위의 과정을 반복하면 구하는 구간의 모든 소수가 남는다.

```javascript
function solution(n) {
  const arr = new Array(n).fill(true)

  for (let i = 2; i * i <= n; i += 1) {
    if (arr[i]) {
      for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
        arr[j] = false
      }
    }
  }

  arr.splice(0, 2, false, false)

  return arr
    .map((value, index) => (value ? index : false))
    .filter((value) => Boolean(value))
}
```

어떤수 $N$ 이 $a^m \times a^b$ 로 소인수 분해 할 수 있다면, $N$ 의 약수는 총 $(m+1) \times (n+1)$개 다.

- 공약수: 두 수의 약수 중에 공통되는 것
- 최대 공약수: 공약 수 중 가장 큰 수
- 서로소: 1외에 공약수가 없는수
- 공배수: 두 수의 배수 중에서 공통 된 것
- 최소공배수: 공배수 중 가장 작은 것

두 수 A와 B, 그리고 이들의 최대공약수를 G라고 하고, 최대공약수에 속하지 않는 약수들의 곱을 a, b라고 하자. a, b는 최대 공약수의 정의에 따라 서로소 일 것이다..

$$
A = G \times a
B = G \times b
$$

A, B의 배수들을 구하면 다음과 같은 모양이 될 것이다.

$$
A : (G \times a) \times (1, 2, 3 ... )
B : (G \times b) \times (1, 2, 3 ... )
$$

여기서 최소공배수를 구해보자.

$$
A: (G \times a) \times b
B: (G \times b) \times a
$$

따라서 최소 공배수 L은

$$
L = G \times a \times b
$$

로 표현될 수 있다.


프로그래머 기초 수학 2-1 - 정수

## Table of Contents

## 집합

개별적인 개체들의 모임을 집합이라고 하며, 집합을 이루는 개체를 원소라고 한다. 집합을 이루는 원소는 `{ }` 중괄호 로 나타내며, 원소나열법과 조건 제시법으로 표시한다. 순서는 상관없지만, 중복은 하지 않는다.

$$
A = \{ 1, 5, 7, 3, 9 \}
$$

$$
B = \{ 2, 4, 6, \ldots, 100 \}
$$

조건제시법은 집합의 원소들에 공통되는 조건법을 기술하는 방법이다.

$$
C = \{ x | 1 \leq x \leq 100 \}
$$

어떤 원소가 집합에 속하는지는 $\in$ $\notin$ 으로 표시한다. 어떤 집합의 원소의 개수는 $| A |$ 로 나타낸다.

어떤 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속해 있을 경우 부분집합이라고 하고 $A \subset B$ 라고 쓰며, 이 경우에는 A가 B에 포함된다고 한다. 부분집합이 아닐 경우엔 $A \not\subset B$ 으로 표시한다.

원소의 개수가 유한할 경우 유한집합, 무한할 경우 무한집합으로 부른다. 아무런 원소도 없을 경우에는 공집합이라고 하며, 기호로는 $\emptyset$ 으로 표시한다.

만약 $A \subset B$ $B \subset A$ 가 동시에 성립한다면 두 집합의 원소는 완전히 동일한 것으로, `상동`이라고 한다.한편 $A \subset B$이지만 $A \neq B$ 인 경우, B에는 A의 원소가 아닌것도 포함되어 있다는 뜻이므로, 진부분집합이라고 한다.

벤다이어 그램을 이용하면 이해하기가 더 쉽다.

![venn](./images/venn1.png)

집합 A와 B를 한 데 모은 집합르 합집합이라고 하며, $A \cup B$ 이라고 한다. 합집합을 조건제시법으로 하면 아래와 같다.

$$
A \cup B = \{ x | (x \in A) \lor (x \in B) \}
$$

반대로 공통된 요소만 골라냈다면 교집합이라고 하며 $A \cap B$라고 나타낸다.

$$
A \cap B = \{ x | (x \in A) \land (x \in B) \}
$$

만약 교집합이 $\emptyset$ 인 경우, 두집합 간에 공통된 원소가 하나도 없는 경우는 서로소라고 한다.

때로는 어떤 집합을 제외한 나머지 모든 것을 나타내야할 수도 있다. 기본전제가 되는 집합을 $U$ 전체 집합이라고 한다. 그리고 $U$에서 $A$를 제외 한 것을 $A$ 의 여집합이라고 하며, $A^c$ 로 나타낸다.

$$
A^c = \{ x | (x \notin A) \land (x \notin U) \}
$$

합집합 $A \cup B$ 의 크기를 구할 때는 주의해야한다.

$$
|A \cup B| = |A| + |B| - | A \cap B |
$$

이것은 아래의 식과 동일하다.

$$
A - B = \{ x | (x \in A) \cap (x \notin B) \} = A \cap B^c
$$

그리고 이러한 집합 연산에도 드모르간의 법칙이 성립한다.

$$
( A \cup B )^c = \{ x | \lnot(x \in A \lor x \in B) \} = \{ x | (x \notin A) \land (x \notin B) \} = A^c \cap B^c
( A \cap B )^c = \{ x | \land (x \in A \land x \in B) \} = \{ x | (x \notin A) \lor (x \notin B) \} = A^c \cup B^c
$$

집합 연산에서 교환, 결합, 분배 법칙은 어떨까? 먼저 교환법칙을 살펴보자. 합집합과 교집합은 앞뒤가 바뀌어도 성립하지만, 차집합은 그렇지 못하다.

$$
B \cup A = \{ x | x \in B ) \lor (x \in A) \} = A \cup B
B \cap A = \{ x | x \in B ) \land (x \in A) \} = A \cap B
B-A = B \cap A^c \not = A \cap B^c = A-B
$$

결합법칙 역시 합집합과, 교집합의 경우애는 성립하지만, 차집합은 성립하지 않는다.

$$
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
(A - B) - C = (A \cap B^c) - C = A \cap B^c \cap C^c
A - (B - C) = A - (B \cap C^c) = A \cap (B \cap C^c)^c = A \cap (B^c \cup C)
$$

분배 법칙 또한 합집합 교집합에서는 성립한다는 것을 알 수 있다.

$$
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
$$


프로그래머 기초 수학 1-2 - 집합

## Table of Contents

## 명제

명제란 참인지 거짓인지 판별할 수 있는 문장이나 수식을 말한다.

- 달은 지구의 위성이다 (참)
- 고래는 어류다 (거짓)
- $7 \times 8 = 56$ (참)
- $x^2 - 2x - 1 = 0$ ($x$ 값이 정해지지 않아 알수 없다. 이는 명제다 가이다.)

## 논리연산

이러한 명제에도 기본적인 연산이 존재한다. 명제는 진리값을 다루므로 그에 대한 연산은 논리적인 성질을 띄고, 이러한 논리연산을 명제에 적용하면 그 결과 새로운 명제가 만들어진다.

| 논리연산           | 기호 | 뜻                                |
| ------------------ | ---- | --------------------------------- |
| 논리합(OR)         | ∨    | 적어도 하나 이상의 명제가 참인가  |
| 논리곱(AND)        | ∧    | 주어진 모든 명제가 참인가?        |
| 부정(NOT)          | ¬    | 원래 명제의 참과 거짓을 뒤바꾼다. |
| 배타적 논리합(XOR) | ⊕    | 둘중하나만 참인가?                |

논리연산의 결과를 표 형태로 쉽게 나타낸 것을 진리표라고 한다.

| $p$ | $q$ | $p \lor q$ |
| --- | --- | ---------- |
| $T$ | $T$ | $T$        |
| $T$ | $F$ | $T$        |
| $F$ | $T$ | $T$        |
| $F$ | $F$ | $F$        |

| $p$ | $q$ | $p \land q$ |
| --- | --- | ----------- |
| $T$ | $T$ | $T$         |
| $T$ | $F$ | $F$         |
| $F$ | $T$ | $F$         |
| $F$ | $F$ | $F$         |

| $p$ | $\lnot q$ |
| --- | --------- |
| $T$ | $F$       |
| $F$ | $T$       |

$p \lor \lnot p$와 같이 항상 참인 명제를 항진명제라고 하고, $p \land \lnot p$ 처럼 항상 거짓인 명제는 모순명제라고 한다.

만약 명제를 연산한 결과에 부정연산을 하게 되면 어떻게 될까?

$$
\lnot (p \lor q)
$$

위 연산은 `p나 q 둘중 하나라도 참이면` 의 결과가 참이니, OR을 부정했다면 그 반대로 `p와 q 둘중 어떤 것도 참이 아니라면` 연산의 결과가 될 것이다.

$$
\lnot p \land \lnot q
$$

이 처럼 같은 진리값을 갖는 두가지 명제를 동치라고 하고, 기호로는 $\equiv$ 라고 한다.

위에서 언급했던 식은 이렇게 쓸 수 있다.

$$
\lnot (p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q
$$

$$
\lnot (p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q
$$

이러한 동치관계는 [드모르간의 법칙](https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%9C_%EB%AA%A8%EB%A5%B4%EA%B0%84%EC%9D%98_%EB%B2%95%EC%B9%99) 이라고 한다.

> 논리합은 논리곱과 부정기호로, 논리곱은 논리합과 부정기호로 표현할 수 있음을 가리키는 법칙이다. (킹무위키)

```
not(A or B)=(not A) and (not B)
not(A and B)=(not A) or (not B)
```

논리합은 덧셈과, 논리곱은 곱셈과 유사한면이 있고, 진리값 T, F는 각각 1, 0 의 성질을 갖는다. 그러나 진리값이 숫자는 아니므로 엄연히 차이가 있다.

$$
p \lor F \equiv p
p \land F \equiv p
$$

숫자와는 다르게 자기 자신의 논리합과 논리곱은 자신으로 돌아온다.

$$
p \lor p \equiv p
p \land p \equiv p
$$

교환법칙도 적용된다.

$$
p \lor q \equiv q \lor p
p \land q \equiv q \land p
$$

결합법칙 역시 모두에게 동일하게 적용된다.

$$
(p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)
(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)
$$

분배법칙은 수학과 약간 다르다.

$$
p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)
p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)
$$

## 배타적 논리합 $\oplus$

이 연산은 둘 중 어느 한쪽만 참일 때만 참이다. 순서는 상관없다. 따라서 교환법칙이 적용된다. 그리고 마찬가지로 결합법칙도 적용된다.

그리고 배타적 논리합은 아래와 같이 특이현 결과를 낳기도 한다.

$$
p \oplus T \equiv \lnot p
p \oplus F \equiv \lnot p
p \oplus p \equiv F
$$

그리고 어떤 명제에서 다른 명제를 두번 연달아 XOR 하면 다시 원래의 연산으로 돌아온다.

$$
(p \oplus q) \oplus q \equiv p
$$

이를 증명해보자.

$$
(p \oplus q) \oplus q
p \oplus (q \oplus q)
p \oplus F \equiv p
$$

이게 코드에서 무슨 소용이 있냐고?

다음과 같은 조건문이 있다고 가정해보자.

```javascript
var question = (!cond1 || cond2) && !(cond1 && cond2)
```

이는 조건문을 파악하기 어렵고 까다롭게 만든다. 논리연산으로 잘 만들어보자.

$$
(\lnot p \lor q) \land (p \land q)
$$

이를 드모르간의 법칙과 분배법칙을 활용해보자.

$$
(\lnot p \lor q) \land \lnot(p \land q)
(\lnot p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q)
\lnot p \lor (q \land \lnot q)
\lnot p \lor F
\lnot p
$$

와! 결국 위 코드는 이것과 같았다.

```javascript
var question = !cond1
```


Math 1

프로그래머 기초 수학 2-3 - 유리수, 무리수, 실수

프로그래머 기초 수학 2-2 - 기수법

프로그래머 기초 수학 2-1 - 정수

프로그래머 기초 수학 1-2 - 집합

프로그래머 기초 수학 1-1 - 명제와 논리연산