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title: 프로그래머 기초 수학 2-3 - 유리수, 무리수, 실수
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date: 2020-07-29 09:36:41
description: '유리수, 무리수, 실수'
category: programming
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## 유리수

유리수란, 나눗셈 또는 분수, 즉 '비율로 나타낼 수 있는 모든 수' 를 유리수라고 한다. 정수는 모두 자기자신과 1의 비율로 나타낼 수 있으므로 유리수다.

분수에서, 분모와 분자가 1외에 다른 공통된 약수를 가진다면, 그 약수로 동시에 나누어도 값은 변하지 않는데, 이를 `약분`이라고 하며, 더 이상 나눌 수 없어 분모와 분자가 서로 소인 분수를 `기약분수` 라고한다.

$$
\frac{20}{72} = \frac{2^2 \times 5}{2^3 \times 3^2} = \frac{5}{2 \times 3^2} = \frac {5}{18}
$$

분수로 나타낸 두 유리수를 계산할 때, 분모가 다르다면 이를 같게 만들어야 한다. 이를 `통분` 이라고 하며, 통분된 새로운 분모를 `공통분모` 라고한다.

$$
\frac{5}{12}- \frac{3}{8} = (\frac{5 \times 2}{12 \times 2}) - (\frac{3\times3}{8 \times 3}) = \frac {10}{24} - \frac{9}{24} = \frac {1}{24}
$$

어떤 수와 다른 수를 비교했을때, 얼마나 큰가 하는 것을 두수의 `비`라고 하며, $a : b$ 로 나타낸다. 두 비의 값이 같아서 등호로 연결한 것을 `비례식`이라고 한다. 그리고 등호 가까이에 있는 것은 `내항`, 바깥에 있는 것은 `외항`이라고 한다.

$$
a : b = c: d
$$

비례식은 분수꼴로 써서 풀수 있고, 이 때 양변에 분모의 공배수를 곱한다. 그 결과로 내항의 곱과 외항의 곱이 같아진다.

$$
\frac a b = \frac c d
\frac a b \times ( b \times d) = \frac c d \times (b \times d)
a \times d = b \times c
$$

비율을 $\frac {1}{100}$ 단위로 표현한 것은 백분율이라고 한다. $\frac 1 4$는 $\frac{25}{100}$ 이며 곧 25%라고 표시할 수 있다. 흔치는 않지만, 농도 등을 나타낼 때는 $\frac{1}{1000}$을 쓸 수 있는데, 이는 퍼밀(‰) 이라고 한다.

유리수는 분수 외에 소수점을 써서 소수로 나타낼 수 있다. 이 때 분모가 10의 거듭제곱일 때는, 소수가 유한하게 끝나게 되는데 이를 `유한소수` 라고한다.

10 진수의 밑인 10의 소인수는 2와 5다. 기약분수인 어떤 유리수의 분모를 소인수 분해했더니, 2와 5의 거듭제곱으로만 이루어졌다고 다고정하자. 분자는 무엇이든지 간에, 모든 유리수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$
\frac {N}{2^m \times 5^n}
$$

이제 $m$ 과 $n$ 중, 더 작은쪽에 해당하는 소인수를, 큰쪽의 거듭제곱과 같을 때까지 분모와 분자에 곱해보자.

$$
\frac{9}{40} = \frac{9}{2^3 \times 5} \times (\frac {5^2}{5^2}) = \frac{9 \times 5^2}{2^3 \times 5^3} = \frac{9 \times 5^2}{10^3} = \frac{225}{1000} = 0.225
$$

결과가 10의 거듭제곱 꼴이 되므로, 이유리수를 소수로 나타내면 유한소수가 된다.

만약 2나 5외에 다른 소인수가 분모에 있으면, 소수점 밑 어딘가부터 같은 숫자 패턴이 반복하게 된다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8333333....
\frac{1}{7} = 0.142857142857....
$$

이런 소수를 `순환소수` 라고 한다. 소수점 아래에 반복되는 부분을 `순환마디`라고 하며, 점을 찍어서 표현한다.

$$
\frac{11}{6} = 1.8\dot{3}
\frac{1}{7} = 0.\dot{1}4285\dot{7}
$$

순환소수를 분수로 바꾸는 방법을 생각해보자.

$$
x = 0.33333....
10x = 3.3333....
$$

두 식을 빼면

$$
9x = 3
\therefore  x = \frac 3 9 = \frac 1 3
$$

$1.8\dot{3}$ 처럼, 순환마디가 바로 뒤에 오지 않으면, 순환마디가 동일하도록 만든다음에 뺄셈을 하면 된다.

$$
x = 1.833333...
$$

$$
10x = 18.333333...
$$

$$
100x = 183.333333...
$$

$$
90x = (183-18) = 165
\therefore x = \frac {165}{90} = \frac{11}{6}
$$

## 무리수

유리수 처럼 분수로도 나눌 수 없는 숫자가 있다.

$$
x^2 = 2
x = \sqrt{2}
x = -\sqrt{2}
x = ± \sqrt{2}
$$

$± \sqrt{2}$는 2의 제곱근 이라고 한다.

이 처럼 분수로 나타낼 수 없는 숫자는 무리수라고 한다. 무리수는 순환하지 않는 무한소수를 나타내는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$는 1.4142135...이다. 결과적으로, 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.

![](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/2457934C57165F6C33)

그리고 $\sqrt{-1}$처럼, 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지 않으므로, 실수 체계에 속하지 않는다. 무리수도 숫자 이므로, 덧셈 뺄셈은 일반적인 경우와 같다.

$$
a\sqrt{n} ± b\sqrt{n} = (a ± b)\sqrt{n}
\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}
\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
$$

근에 안에 있는 수가 제곱수일 경우, 이를 벗겨 내 버릴 수도 있다.

$$
\sqrt{24} = \sqrt{2^3 \times 3} = \sqrt{2^2 \times (2 \times 3)} = \sqrt{4} \times \sqrt{2 \times 3} = 2\sqrt{6}
$$

분모에 제곱근 기호가 있다면, 통분 같은 계산을 위해 정수화 하는 것이 좋다. 이를 `분모 유리화` 라고 한다.

$$
(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = (\frac{\sqrt{2}}{2})
$$